杨易程《高考数学备考满分策略》之数学思维能力的培养 -2022世界杯买球

现代教育观认为,数学教育是一种思维教育,其灵魂和核心是培养学生的思维能力。在学教学之数学占据着重要的位置,对于提升学生思维能力与理解能力有着重要的作用。学数学的教学目的之一就是。学数学教学,一方面要传授数学知识,使学生具备数学基础知识的素养;另一方面,要通过数学知识的传授,培养学生能力,发展智力,进一步培养学生的数学思维能力,这是数学教学一个非常重要的方面。

一、数学思维能力的内涵和界定

“数学是思维的体操。”数学教学过程就是思维活动的过程,培养学生的思维能力是数学教学的主要目的。思维能力的培养,能大大扩展人们对事物认识的广度和深度,赋予人极大的认识能力和创造能力。

思维是人脑对客观事物的一般特殊性和规律性的一种间接的、概括的反映过程。数学思维是对数学对象(空间形式、数量关系、结构关系等)的本质属性和内部规律的间接反映,并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。学科思维是在学科提出问题、解决问题的过程所采用的各种方式、手段、途径等。“学科思维”概念的提出展示了一个新的突破口,它把思维能力的培养和学科知识的教学有机地进行整合,不仅使学科教师感到亲切,也使他们找到了培养学生思维能力的抓手。

数学思维是一种特殊的思维,具有广阔性、灵活性、创造性、深刻性等特征在数学思维可以得到充分的体现,它是衡量数学思维质量的指标,能决定人的数学思维能力。数学思维是对数学对象(空间形式、数量关系、结构关系等)的本质属性和内部规律的间接反映,并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。数学思维就是用数学思考问题和解决问题的思维活动形式。数学课堂上老师讲数学知识点、数学素材展现在学生面前,引导学生思考,学生根据这些素材形成数学构思就是数学思维。数学思维能力主要包括会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括;会用归纳、演绎和类比进行推理;会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点;能运用数学概念、思想和方法,辨明数学关系,形成良好的思维品质。

现代教育观认为,数学教育是一种思维教育,其本质是要培养学生的思维能力。数学教学所研究的思维,一般是指发现新事物、揭示新规律、创造新方法和解决新问题的思维过程。(苏)b.a奥加涅相认为:“所谓数学思维,应该这样理解:其一,是指一种形式,这种形式表现为人们认识具体的数学科学,或是应用于科学、技术和国民经济等的过程的辩证思维。其二,应认识到它是一种特性,这种特性是由数学学科本身的特点,以及数学用以认识现实世界现象的方法所决定的,同样,也受到所采用的一般思维方式的制约。”也有人从理性认识的角度指出:“所谓数学思维,是指人类关于数学对象的理性认识过程,广义的可理解为,包括应用数学工具解决各种实际问题的思考过程。”主要有以下五种主要的思维品质:①思维的灵活性是指能随事物的变化而随机应变的及时性,以及不过多地受思维定势的影响。爱因斯坦说:”想象比知识更重要,因为知识是有限的,而想象可以包罗整个宇宙。”在教学中,引导学生进行数学想象,往往能缩短解决问题的时间,获得数学发现的机会,锻炼数学思维。数学创造性想象一般有以下几个基本要素。第一,因为想象往往是一种知识飞跃性的联结,因此要有扎实的基础知识和丰富的经验的支持。第二,是要有能迅速摆脱表象干扰的敏锐的洞察力和丰富的想象力。第三,要有执着追求的情感。②思维的严谨性是指考虑问题的严密、有据。要提高学生思维的严谨性,必须严格要求,加强训练。数学思维的抽象性。高度的抽象性是数学的显著特点之一。因此,以数学关系为其思维对象的数学思维,自然反映出这种高度的抽象性的特征。人们把这种高度的抽象性称之为间接的间接,概括基础上的概括。这种抽象只保留了事物间量或形的关系而舍弃了事物本身和其他自然性质。例如,对于函数y=f(x),数学思维所关心的只是变量x与y之间的结构关系,至于它们代表什么,则不是数学思维所考虑的内容。此外,数学思维是一逐次抽象的过程,这种抽象程度大大超过了自然科学的任何一种抽象。③思维深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平,以及思维活动的深度和难度。④思维的广阔性是指对一个问题能从多方面考虑。具体表现为对一个事实能作多方面的解释,对一个对象能用多种方式表达,对一个题目能想出各种不同的解法。⑤思维的批判性是指思维活动善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程。在数学学习的过程,学生要善于从已有的答案和解题过程提炼出自己想要的东西,发表自己的见解。

学生的数学思维主要有三种形式:形象思维、抽象思维和灵感思维。形象思维又叫直观思维。它的思维特征是具体、直观。它有两个层次:一个是在抽象思维产生前的初级直观形象;另一个是在抽象思维之上的高级的理想形象。对于学生来说,形象思维过程往往与具体的事物、图表、符号等相联系,很多人的想象思维处于初级层次。例如,学习平面几何时,他们往往与三角形、四边形、圆这些具体实物进行对比联想。学习集合论时,他们往往借助于韦恩图思考集合间的各种关系。学生有了对“初形”的感知,教师就要引导学生建立抽象思维,把概念理想化,建立理想的形象与结构,这便是高级的形象思维。数学思维的基本内容有以下三个方面:

1、思维方面:一是形象思维。形象思维是数学思维的初始部分,是指通过事物的表象和具体形象来进行的思维,它属于思维的初级阶段。此时,我们要加强学生观察信息和获取信息能力的培养。二是抽象思维。抽象思维是数学思维常见的思维形式,它以严密的逻辑推理为基础,包括概念、判断、推理与证明等基本形式。是指把议论语言当作媒介、借助逻辑和概念分析来做出推理和判断的思维,它属于思维的理性阶段。此时,要注意学生抽象、分析、概括、判断、推理和综合能力的培养。成绩好的学生能把一个数学题迅速准确地解答出来,我们就说这个学生的抽象思维能力强。教师在教学要有意识地培养学生的抽象思维能力,让抽象思维贯穿于数学教学的始终。三是创造性思维。是指突破原有的思维方式并创造出新思维成果的思维,它属于思维的高级阶段。此处要大力培养学生模拟、设想、创新、类比、引申、归纳和综合的能力。

2、能力方面:数学核心能力大致包含如下几个方面:数学运算、直观想象、数学建模、数学抽象、数据分析、逻辑推理等。一是抽象概括能力。数学中任何一个数字、一种符号、一个算式、一个公式、一种法则、一个概念、一个规律,都是抽象概括的结果,抽象就是舍弃所研究的事物的某些非本质属性,提示其本质属性的一种思维方法。 概括就是把部分事物的本质属性结合起来,推广到同类全体事物的思维方法。这个过程也就是思维由个别通向一般的过程。数学抽象概括能力是数学思维能力,也是数学能力的核心。它具体表现为对概括的独特的热情,发现在普遍现象存在着差异的能力,在各类现象间建立联系的能力,分离出问题的核心和实质的能力,由特殊到一般的能力,从非本质的细节使自己摆脱出来的能力,把本质的与非本质的东西区分开来的能力,善于把具体问题抽象为数学模型的能力等方面。具有数学能力的学生在收集数学材料所提供的信息时,明显表现出使数学材料形式化,能迅速地完成抽象概括的任务,同时具有概括的欲望,乐意地、积极主动地进行概括工作。二是推理能力。数学运算、证明以及数学发现活动都离不开推理,数学的知识体系实质上就是用逻辑推理的方法构成的命题系统,因此,推理与数学关系密切,教学应注重推理能力的培养。逻辑推理在数学是普遍存在的,应予以重视,除逻辑推理能力而外,更要注意直觉推理能力的培养,因为直觉推理使数学思维具有灵活性、敏捷性和创造性,使人们去猜想。三是数学探索能力。是数学思维能力最富有创造性的要素,也是最难培养和发展的要素。探索能力强的学生,能迅速地轻易地从一种心理运算转到另一种心理运算,表现出较强的灵活性,在对思维活动的定向、调节和控制上,有较强的监控能力,对思维过程有较强的自我意识,善于提出问题,敢于大胆猜想。四是数学推理能力。推理能力在认识数学知识方面具有极其重大的作用。由于大部分数学结论是由为数不多的基本判断推导出来的,而基本判断通常借助于直观经验获得的,它只是反映了我们对现实对象最简单和一般的认识。数学推理是由已知判断探求新结果,从而扩大了我们对现实世界中的对象和现象的知识范围。推理(作为一种思维形式)跟概念和判断的区别,就在于它是对几个独立思想的逻辑推演。并不是把任意几个判断连接起来就是推理。在这些判断之间应当有存在一定的、反映现实情况中存在的客观联系的逻辑联词。推理的种类可分为(1)归纳推理:归纳推理是从特殊到一般的推理。它是根据观察了某类事物的一部分(或全部对象)的特殊性后得出该类事物的一般结论的一种逻辑方法。归纳推理又分为不完成归纳推理与完全归纳推理两种。①不完全归纳推理:这是在研究事物的某些特殊情况所得到共同属性的基础上,从而对这一事物作出一般结论的推理方法。②完全归纳推理:这是在研究事物一切特殊情况所得到共同属性基础上,从而对这类事物作出一般结论的推理方法:由于完全归纳推理是全面考虑了事物的一切特殊情况,因此由完全归纳推理所得到一般结论总是正确的。(2) 演绎推理。演绎推理是从一般到特殊的推理。演绎法的基本形式是三段论。三段论法是由三个判断所组成,其中由两个判断作前提,一个判断作结论。第一个前提是一般的判断(全称判断)叫大前提,第二个前提是特殊的判断(叫特称判断)叫做小前提;第三个判断是由两个前提推出的结论。数学中的推理,主要是演绎推理。在小学数学教学中,学生根据已讲过的定义、法则、性质、公式去解决一个个具体问题,这种过程就是演绎推理。(3)类比推理:类比推理是从特殊到特殊的推理。它是比较两个具有一些相同的(或相似的)属性的对象,因而推出它们的某些其它属性也相同(或相似)的一种推理形式。类比可以导致发现——结论的发现或解题途径的发现。大科学家刻卜勒曾经说过:“我珍视类比胜于任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在几何学中它应该是最不容易的忽视的。

3、良好思维品质。思维来源于知识,思维过程离不开知识的积累。良好思维品质包括兴趣、勤奋、坚韧的意志,品质和工作能力等。激发学生的学习兴趣,使学生始终处于探索未知世界的主动地位。从具体的探索方法上给学生以指导,在探索过程要广泛应用各种思维方法,如分析、综合、一般化、特殊化、归纳、类比、联想、演绎等,要重点给学生介绍逻辑的探索方法──综合法和分析法。鼓励学生勇于探索,善于探索,发扬创新精神,提出独立见解,形成探索意识。鼓励大胆质疑、释疑,培养学生敢于思维的习惯。

二、中学生数学思维能力存在的主要问题

从目前中学生中学生数学思维能力存在的主要问题表现为:思维“飞跃”缓慢,不善于确定思维的方向;呆板不灵活,思维具有表面性,思维面狭窄,尤其是逆向思维能力差;不善于独立思考。学习新知识时常常机械模仿,依葫芦画瓢,生搬硬套题目稍有变化就束手无策。有的学生害怕老师提问,听课时情绪紧张,心理上有一种压抑感。数学知识的逻辑性很强,脱掉一环就会严重地影响后面的学习。而部分学生的基础都比较薄弱,认知结构不完整,学习新知识时,常因缺乏必要的基础知识而听不懂老师的讲解。

1、思考问题深度欠缺。“教学过程是一种提出问题、解决问题的持续不断的过程。”课改以来,教师们的问题意识增强了,问题成了常态,但常是教师提问学生回答,教师们的问题往往是蜻蜓点水,质量不高,缺乏那种“大问题、主问题、核心问题、有深度思维问题”。为了能够真正发展学生的思维,就需要“问题的升级版”,即问题从封闭走向开放、从单一走向综合、从“一对一”走向“一对多”、从知识的记忆巩固走向问题探究,从浅层思维走向深度思维,尤其要改变“唯标准答案”,从“基于答案”走向“经历过程”,这样才能使学生的思维得到有效的训练,才能真正提高学生的思维能力。

2、缺乏系统的知识理解,数学各个章节知识存在密切的联系,构成了一个整体的数学概念。然而,目前教师在开展高数学教学活动之,主要按照章节进行知识讲解,并让学生采取机械式记忆方式背诵大量的数学概念、公式以及定义等,使学生的知识过于零散,难以形成完整的思维体系,导致学生对知识理解与掌握不够深入与牢固。

3、思维惰性成为阻碍学生数学抽象思维能力培养的因素之一。学生数学思维的机械性是由于思维惰性而形成的,是一些教师在教学过程引导学生运用公式来解答数学知识而形成的。一些学生对于这样的教学方法也很受用,在解题过程 ,通常还未看准题意,就盲目地运用公式进行解题,生搬硬套 地解答题目;只要是遇到类似习题,学生便代入演算,进行拼凑 解答,机械式地套用习题与公式,很少有学生能够主动地进行 思考,长此以往,使学生的思维模式变得机械化。因此,思维的 机械性是阻碍学生数学抽象思维能力培养的因素之一。

4、评价机制本身的不完善或评价机制贯彻的不完全。一是不考的不学。二是评价方式单一。无论对老师还是学生,往往都是以学科考试成绩作为主要指标进行评价。三是考试导向的偏差。

三、培养学生的数学思维能力的主要途径

从本质上说,数学思维的过程就是不断提出问题和解决问题的过程,数学思维的能力也就是提出数学问题、解决数学问题的能力。《数学课程标准》指出:“数学是人类生活的工具,对数学的认识不仅要从数学家关于数学本质的观点去领悟,更要从数学活动的亲身实践去体验。”数学学习的本质,是数学思维活动的过程。因此,培养学生思维能力,是学数学教学极为重要的任务。高數学是一门兼具了复杂性与抽象性的学科,通常来说,数学学习能力强的学生在物理与化学学习上也会有不错的表现,为此,在高数学教学加强对学生数学能力培养,有助于提升学生的物理化学的学习能力,从而使学生整体成绩得到提升。

1.强化创造性思维是数学思维能力培养的突破口。“思维是从疑问和惊奇开始的”,人的思维过程是始于问题情境的。数学知识是严密的逻辑系统知识。就学生的学习过程来说,往往以前所学旧知识、旧经验是新知识的基础,新知识同时又是对旧知识、旧经验的引伸和发展,学生的认知活动也总是以已有的旧知识和经验为前提。心智是一种直觉,它是非常灵活迅捷而复杂的心理活动现象,是在原有知识的基础上,通过对事物的表象感知,借回忆、想象、猜测等心理活动,闪电般跳跃式地对事物本质进行判断,它是创造思维的灵魂。牛顿认为“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。”在训练学生直觉思维方面,应鼓励学生大胆猜想,敢于创新,冲破思维定势,摆脱常规约束,允许学生突发奇想,甚至异想天开。对学生回答问题不要苛求过于严谨全面,让它们发现什么说什么,想到多少说多少,说出表象的理解或猜想也可以,不一定要说个所以然;教师对学生独到的见解或奇异的想法要因势利导,引上思维的轨道,让他们想出点门道来。教师要鼓励每个学生应有一点敢于猜想的意识,多进行“猜一猜”的活动。猜想是不受现成事实的束缚,它包含着可贵的大胆想象和推测的成分。教师要敢于通过“尝试”、“猜想”等问题情景的创设,大胆暴露学生的思维过程,引导学生沿着合理的解题思路去思考。

2、数学思维能力的培养是素质教育前提,有助于学生自主探究、合作交流、动手实践能力的发掘;数学思维的教学可以培养学生对数学观念、数学思想、数学理论的广泛理解;数学思维教学可以让学生迅速高效的解决实际问题,增强处理问题的应急能力。数学是自然科学的重要基础,数学有着众多的思想方法,常见的包括了分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想以及化归思想等。数学探究性教学,就是教师引导学生以探究的方式学习数学。在数学教学,探究情境的设计应充分利用外在的物质材料,展示内在的思维过程,揭示知识的发生、发展过程。应具有促进学生智力因素和非智力因素的发展。还应使问题情境结构、数学知识结构、学生认识结构三者和谐统一,促进数学知识结构向学生认识结构的转化,既要创设与当前教学要解决的问题,又要创设与当前问题有关,并能使学生回味思考的问题。

3.教会学生思维的方法。思维能力是一切能力的核心,它是通过对事物的感知、表象进行分析、概括、归纳而获得事物本质的能力.数学思维在学生数学学习具有重要作用,没有数学思维,就没有真正的数学学习.只有培养发展学生的数学思维,才能充分发挥学生的主体作用浅谈数学思维品质能力的培养。数学和其他学科的知识相比,概念是十分抽象的,学习难度也挺大,很难被学生快速理解,难以灵活掌握。因此,面对这样的现状,同学们一定要改变对数学不积极的现状,根本提升对数学的兴趣。同时,同学们也要学会,把难懂的数学内容变灵活生动,变成感兴趣的知识,这样的话,才能提升学习数学的兴趣,进而提升数学教学质量和水平。数学原理也要清晰,它是认识数学概念的重要法宝,建立在数学概念的基础上。此外,还应加强分析、综合、类比等方法的训练,提高学生的逻辑思维能力;加强逆向应用公式和逆向思考的训练,提高逆向思维能力;通过解题错、漏的剖析,提高辨识思维能力;通过一题多解(证)的训练,提高发散思维能力等。

4、重视良好思维品质的培养。教育心理学家认为,思维总是从问题开始的,有题才会有问,有问才会有思。教师应有目的地提问学生一些待探究的问题,让他们自己揭开疑团,发现规律引起兴趣。例如:在教“等差数列的性质:“若,则”时,我引导学生按以下程序操作:(1)在通项为的等差数列,,是否成立?(2)是否成立?(3)归纳总结:哪位同学能叙述一下从上述过程能得到什么结论?(4)得出性质并给出具体证明。就这样在教学交给学生一些感性材料提出探索要求,并适当进行点拨,激起学生产生独立思考的渴望,然后通过学生自己分析、研究、归纳、整理得出正确结论。

5、善于调动学生内在的思维能力。语言是思维的外壳,逻辑思维能力与语言表达能力有密切关系。一要培养兴趣,让学生迸发思维。教师要精心设计,使每节课形象、生动,并有意创造动人情境,设置诱人悬念,激发学生思维的火花和求知的欲望,还要经常指导学生运用已学的数学知识和方法解释自己所熟悉的实际问题。启迪学生多层次观察,多方位联想,多角度探索,多途径获解。通过一题多解、一题多变、一法多用,可诱发和培养学生的创造性思维。数学教学应有目的,有意识地把数学各分支的知识联系起来,互相渗透,开阔学生视野,拓广思路。二要引导学生在思维和解题有“法”可循、有“路”可行。但有些学生往往忽视知识的灵活运用,受到某些方法的局限,形成一定的思维定势,死记公式,解题呆板僵化,影响了思维的灵活性。培养思维的灵活性正是针对此而言的。要教会学生善于捕捉有用信息,迅速地引起联想,从而建立起自己的思路。

数学是一门抽象性较强的学科,在新课程背景下,学习数学不仅在于数学解题上要有标准答案,也要在解题过程独立思考,有自己独到的见解。数学学习实质上就是要让学生通过数学学习散发思维,发展他们的思维能力,在提高学生数学基础知识的同时,也要让学生学到思维方法,让学生对数学产生兴趣,并且有所创新、有所发现,以便掌握更多的数学知识。然而,培养学生的数学抽象思维能力单靠教师的努力是不够的,还需要学生积极地配合教师的教学任务。学生要根据教师的引导有效地学习数学知识内容,加强数学知识的关联性,加强自身的思维敏捷性,发挥自身的主观能动性,改变以往等、靠的惰性思维模式,使思维活跃起来,从而培养自身的数学抽象思维能力。

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[2] 黄晓红.浅谈思维能力的培养 [j].时代报告(学术版),2012(1).

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